Највероватније сте срели једностране предмете стотине пута у свом свакодневном животу - попут универзалног симбола за рециклирање, који је отиснут на полеђини алуминијумских лименки и пластичних боца.
Овај математички предмет назива се Мобиусова трака. Фасцинирао је екологе, уметнике, инжењере, математичаре и многе друге од свог открића 1858. године Аугустом Мебиусом, немачким математичарем, који је умро пре 150 година, 26. септембра 1868.
Мобиус је открио једнострану траку 1858. године док је био председник катедре за астрономију и вишу механику на Универзитету у Лајпцигу. (Други математичар с именом листинга заправо га је описао неколико месеци раније, али свој рад није објавио до 1861.) Чини се да је Мобиус наишао на Мобиусове траке радећи на геометријској теорији полиедра, чврстих фигура састављених од врхова, ивица и равних лица .
Мобиусова трака може се створити тако што ћете узети траку папира, дајући јој непаран број полу-обртаја, а затим лепљење крајева заједно заједно да формирате петљу. Ако узмете оловку и повучете линију дуж средине траке, видећете да линија очигледно иде дуж обе стране петље.
Концепт једностраног објекта инспирисао је уметнике попут холандског графичког дизајнера МЦ Есцхер, чија дрвена реза „Мобиус Стрип ИИ“ приказује црвене мраве који се пуштају један за другим дуж траке Мобиус.
Трака Мобиус има више од само једног изненађујућег својства. На пример, покушајте да узмете пар маказа и пресечете траку на пола дуж линије коју сте управо нацртали. Можда ћете бити запрепаштени када видите да вам нису преостале две мање једностране траке Мобиус, већ уместо једне дуге двостране петље. Ако немате при руци комад папира, Есцхерова шума „Мобиус Стрип И“ показује шта се дешава када се Мобиусова трака пресече дуж њене средишње линије.
Иако стрип сигурно има визуелну привлачност, његов највећи утицај био је у математици, где је помогла да се подстакне развој читавог поља званог топологија.
Тополог проучава својства предмета који се чувају када се померају, савијају, истежу или увијају, без сечења или лепљења делова. На пример, запетљани пар чепића за уши је у тополошком смислу исти као неуправљени пар ушних удела, јер је за промену једног у други потребно само померање, савијање и увртање. Није потребно резање или лепљење да би се трансформисале између њих.
Други пар предмета који су тополошки исти су шоља за кафу и крофна. Пошто оба предмета имају само једну рупу, један се може деформисати у други само истезањем и савијањем.
Шоља се претвори у крофну. (Викимедиа Цоммонс) Број рупа у објекту је својство које се може мењати само сечењем или лепљењем. Ово својство - које се назива „род“ предмета - омогућава нам да кажемо да су пар ушних ушију и крофница тополошки различити, јер крафна има једну рупу, док пар ушију нема рупе.
На жалост, Мобиусова трака и двострана петља, попут типичног силиконског ручног трака, изгледа да обоје имају једну рупу, тако да је ово својство недовољно за раздвајање - барем са становишта тополога.
Уместо тога, својство које разликује Мобиусове траке од двостране петље назива се оријентабилношћу. Као и број његових рупа, оријентационост предмета може се променити само сечењем или лепљењем.
Замислите да сами напишете биљешку на прозирну површину, а затим се прошетате по тој површини. Површина је оријентабилна ако, кад се вратите из шетње, увек можете прочитати биљешку. На неоријентисаној површини можете се вратити из свог хода само да утврдите да су се речи које сте написали очигледно претвориле у њихову огледалну слику и да се могу читати само с десна на лево. На двостраној петљи, белешка ће се увек читати лево-десно, без обзира где вас је пут одвео.
Будући да је Мобиусова трака неоријентабилна, док је двострана петља оријентабилна, то значи да су трака Мобиус и двострана петља тополошки различити.
(Креирао Давид Гундерман) Када се покрене ГИФ, тачке наведене у смеру казаљке на сату су црне, плаве и црвене боје. Међутим, конфигурацију с три тачке око траке Мобиус можемо померити тако да је фигура на истој локацији, али боје тачака наведених у смеру казаљке на сату сада су црвена, плава и црна. Конфигурација се некако уклопила у сопствену зрцалну слику, али све што смо урадили је да је померимо по површини. Ова трансформација је немогућа на оријентационој површини попут двостране петље.
Концепт оријентационости има важне импликације. Узми енантиомере. Ова хемијска једињења имају исте хемијске структуре, осим једне кључне разлике: То су огледала једна другој. На пример, хемијски Л-метамфетамин је састојак Вицкс Инхалатора испарења. Његова зрцална слика, Д-метамфетамин, је илегална дрога класе А. Да смо живели у свету који се не може усмерити, те хемикалије би биле нераздвојне.
Откриће Аугуста Мобиуса отворило је нове начине проучавања природног света. Студија топологије и даље даје запањујуће резултате. На пример, прошле године је топологија натерала научнике да открију нова чудна стања материје. Овогодишња медаља за поља, највећа част у математици, додељена је Аксхаиу Венкатесху, математичару који је помогао у интеграцији топологије са другим пољима као што је теорија бројева.
Овај чланак је првобитно објављен у часопису Тхе Цонверсатион.
Др Давид Гундерман студент примијењене математике, Универзитет у Колораду и Рицхард Гундерман, канцеларки професор медицине, либералне умјетности и филантропије, Универзитет у Индиани
